수학 공부 - 합계 출산율의 정의와 해석

현재 한국의 최대 문제점 중의 하나로 떠오른 것이 저출산이죠. 사회 전체의 출생아 숫자를 수치화하기 위한 중요한 개념 중의 하나가 합계출산율 (total fertility rate, 줄여서 TFR) 입니다. 이번 포스팅에서는 합계출산율의 정의와 그 값을 어떻게 해석할수 있는지를 간단히 짚어봅시다.

특정 시점에서의 합계출산율은 연령별 출산율을 전부 더한 값으로 주어집니다. \( T \)년도에서의 합계출산율 \( \Gamma (T) \)은 연령별 가임기 여성과 출생아 수로부터 계산할 수 있습니다. \( T \)년도에 \( x \)세인 여성의 숫자를 \( N_{\textrm{fe}} (x, T) \)라고 하고, 이들이 낳은 출생아의 숫자를 \( N_{\textrm{ch}} (x, T) \)라고 한다면 합계출산율은 다음과 같이 주어지겠죠.

\[ \Gamma (T) = \sum_{x = 15}^{49} \frac{N_{\textrm{ch}} (x, T)}{N_{\textrm{fe}} (x, T)} \]

합계출산율의 의미를 더 직관적으로 이해하기 위해 여성 1명이 평생동안 낳는 출생아 숫자의 분포가 일정하게 유지되는 상황을 상정해 봅시다. \( x \)세인 여성이 낳는 출생아 숫자의 평균값을 \( \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x) \)라고 한다면 다음과 같은 관계가 성립하게 됩니다.

\[ N_{\textrm{ch}}(x, T) = \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x) \times N_{\textrm{fe}} (x, T) \]

이를 합계출산율을 구하는 공식에 대입해보면, 일정하게 유지되는 값을 얻을 수 있게 됩니다.

\[ \Gamma = \sum_{x = 15}^{49} \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x) \]

그리고 그 값은 여성 1명에 평생동안 낳는 출생아 수의 평균값이 되는 것이죠. 각 연령에서 낳는 출생아 숫자를 모든 연령에 대해서 합산하면, 평생동안 낳는 출생아 숫자가 되는 것입니다.

요약하자면 여성 1명이 낳는 출생아 숫자의 연령별 분포가 일정하게 유지되는 상황에서는 합계출산율 역시 일정하게 유지되고, 그 값은 여성 1명이 평생동안 낳는 출생아 숫자의 평균값이 되겠습니다. 이말인즉슨 합계출산율이 시간에 따라 변화하는 경우, 산모 연령별 출생아 숫자의 분포 역시 시간에 따라 변화한다는 것을 유추할 수 있겠죠. \( T \)년도에 \( x \)세가 되는 여성이 낳는 출생아 숫자의 평균값을 \( \mathcal{P}_{\textrm{birth}}(x, T) \)라고 정의할 수 있는 것입니다.

시간에 따라 변화하는 \( \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x, T) \) 역시 앞에서 언급한대로 출생아 수를 산모의 수로 나눠서 계산할 수 있습니다.

\[ \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x, T) = \frac{ N_{\textrm{ch}} (x, T) }{ N_{\textrm{fe}} (x, T) } \]

합계출산율이 시간에 따라서 변하는 일반적인 시나리오에서도 출산의 경향성을 반영하기는 하지만, 여성 1명이 평생동안 낳는 출생아 숫자와 정확하게 일치하지는 않습니다. 예를 들어서 1990년에 태어난 여성은 2010년에 만 20세가 되고, 2020년에 만 30세가 되죠. 따라서 이 사람이 평생동안 몇명의 아이를 낳을지를 추산하기 위해서는 \( \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x, T) \)가 가임기동안 어떻게 변하는지를 알아야 하는 것입니다.

\( T \)년도에 태어난 여성 1명이 평생동안 낳을 것으로 예상되는 출생아 수의 평균값 \( \tilde{\Gamma} (T) \)을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[ \tilde{\Gamma} (T) = \sum_{x = 15}^{49} \mathcal{P}_{\textrm{birth}} (x, T + x) \ne \Gamma (T) \]

그리고 \( \tilde{\Gamma} \)는 합계출산율과 동일하지는 않다는 것을 확인할 수 있죠. 다만 출생아 숫자의 분포가 급격하게 변하지 않는다면, 그 차이는 크지 않을 것입니다.